数学分析

课程编号： 4111511 4111512 4111513 学时/学分： 240/15

1 本课程的性质及适用专业

本课程是一门学科必修课，适用于本科信息与计算科学专业。

2 本课程的教学目标

通过本课程的学习，学生应能掌握：1、实数集与函数；2、数列极限；3、函数极限；4、函数的连续性；5、导数与微分；6、微分中值定理及其应用；7、不定积分；8、定积分；9、定积分的应用；10、反常积分；11、多元函数的极限与连续；12、多元函数微分学；13、隐函数定理及其应用；14、含参量积分；15、曲线积分；16、重积分；17、曲面积分； 18、数项级数；19、函数列与函数项级数；20、幂级数；21、傅立叶级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程以及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。同时，通过各个教学环节逐步培养学生抽象概括问题的能力，培养学生熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

3 对先修课程的要求

无

4 本课程教学内容及基本要求

4.1 实数集与函数

教学内容：实数；区间与邻域；函数；确界原理。

基本要求：掌握函数的相关性质；熟悉函数的概念；了解实数、区间与邻域的概念，了解确界原理。

4.2 数列极限

教学内容：数列极限的概念；数列极限存在的条件。

基本要求：掌握数列极限的性质及数列极限存在的条件；了解数列极限的概念。

4.3 函数极限

教学内容：函数极限的概念与性质；极限四则运算法则；两个极限存在准则；两个重要极限；无穷小量与无穷大量；无穷小阶；曲线渐近线。

基本要求：掌握函数极限的性质及极限四则运算法则，两个极限存在准则与两个重要极限，无穷小量与无穷大量的性质，无穷小量阶的比较；熟悉曲线渐近线；了解函数极限的概念，无穷小量与无穷大量的概念，无穷小阶的概念。

4.4 函数的连续性

教学内容：函数连续性；函数间断点；连续函数性质；函数的一致连续性。

基本要求：掌握函数连续性的运算与局部性质；熟悉函数间断点及类型；了解连续函数概念，函数间断点、函数一致连续性的概念。

4.5 导数与微分

教学内容：导数的概念；导数的几何意义；导数的四则运算；反函数的导数；复合函数的导数；基本求导法则与公式；参变量函数的导数；高阶导数；莱布尼茨公式；微分。

基本要求：掌握利用导数定义计算特殊函数在特定点的导数及分段函数的二阶导数，反函数、复合函数、初等函数的求导法则，函数和、差、积、商的求导法则及基本初等函数的导数公式，几种基本函数的高阶导数公式，参数方程所确定的函数的一阶与二阶导数的计算，分段函数的一阶导数的计算，微分基本公式，函数一阶微分的形式不变性，初等函数一阶微分与高阶微分的计算；熟悉导数的几何意义、应用及其函数可导与连续之间的关系，莱布尼茨公式；了解函数导数的概念，函数微分的概念，高阶导数的概念。

4.6 微分中值定理及其应用

教学内容：罗尔定理；拉格朗日定理；柯西定理；罗必塔法则；泰勒定理；函数的单调性；函数极值；有界闭区间上连续函数最大（小）值；曲线的凹凸性；曲线的拐点；简单函数的作图。

基本要求：掌握函数单调性的判别，罗必塔法则，有界闭区间上连续函数最大（小）值的计算，曲线凹凸性的判断方法，曲线拐点的求法，简单函数的作图方法；熟悉函数带有Peano余项、Lagrange余项的Taylor公式，最值的应用问题；了解罗尔定理、拉格朗日定理，柯西定理，泰勒定理，函数极值的概念。

4.7 实数的完备性

4.8 不定积分

教学内容：不定积分的概念；不定积分的基本性质及基本公式；不定积分的第一换元法、第二换元法；分部积分法；有理函数、三角有理式、简单无理式的不定积分。

基本要求：掌握不定积分的基本性质与公式，不定积分的第一换元法、第二换元法及分部积分法；熟悉有理函数、三角有理式、简单无理式的不定积分的计算；了解不定积分的概念。

4.9 定积分

教学内容：定积分概念与基本性质；定积分的第一、二中值定理；变上限积分；牛顿—莱布尼兹公式；定积分的换元积分法与分部积分法；函数可积的充要条件。

基本要求：掌握变上限积分，定积分的基本性质，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元积分法与分部积分法，定积分的第一、二中值定理，函数可积的充要条件；熟悉变上（下）限积分所表示的函数导数的计算；了解定积分的概念，变上限积分概念。

4.10 定积分的应用

教学内容：微元法；用定积分计算平面图形面积；弧微分概念；平面曲线弧长与曲率的计算；平行截面面积为已知的立体及旋转体体积的计算；旋转曲面的面积；利用定积分计算相关物理量。

基本要求：掌握定积分的微元法，平面图形面积的计算，平面曲线弧长的求法，平行截面面积为已知的立体及旋转体体积的求法；熟悉平面曲线的曲率、旋转曲面的面积的计算方法；了解弧微分的概念，定积分计算相关的物理量（压力、引力、功与平均功率等）。

4.11 反常积分

教学内容：反常积分的概念及敛散性判别法；广义牛顿—莱布尼兹公式；简单反常积分的计算。

基本要求：掌握反常积分的敛散性判别法；熟悉简单反常积分的计算，广义牛顿—莱布尼兹公式；了解反常积分的概念。

4.12 多元函数的极限与连续

教学内容：多元函数；二元函数极限；累次极限；二元函数的连续性的概念；二重极限的计算；连续函数的有关运算性质；有界闭区域上二元连续函数的性质。

基本要求：掌握连续函数的有关运算性质；熟悉简单的二重极限的求法，有界闭区域上二元连续函数的性质；了解多元函数、二元函数极限、二元函数的连续性的概念，累次极限的概念。

4.13 多元函数微分学

教学内容：二元函数可微及全微分的概念；全微分存在的充要条件；偏导数、方向导数、梯度、高阶偏导数的概念及其计算；多元函数的中值定理；二元函数的泰勒定理及泰勒公式；多元函数极值的概念及其计算。

基本要求：掌握偏导数、全微分、方向导数、梯度、二元函数极值的计算方法，多元函数取得极值的必要条件及二元函数取得极值的充分条件，全微分存在的充要条件；熟悉多元函数的中值定理、二元函数的泰勒定理及泰勒公式；了解二元函数可微、全微分、偏导数、多元函数极值的概念，方向导数、梯度、高阶偏导数的概念。

4.14 隐函数定理及其应用

教学内容：隐函数（组）的概念及存在定理；隐函数应用；空间曲线的切线及法平面方程；曲面的切平面与法线方程；函数取得条件极值的概念及运用Lagrange乘数法求简单函数的条件极值。

基本要求：掌握隐函数（组）的导数与偏导数的求法，空间曲线的切线及法平面方程的计算，空间曲面的切平面与法线方程的计算，运用Lagrange乘数法求简单函数的条件极值；熟悉隐函数（组）存在定理；了解隐函数（组）的概念。

4.15 含参量积分

教学内容：含参量积分的概念及计算；含参量反常积分一致收敛的概念及一致收敛反常积分的判定；用函数的值表示一些特定形式的反常积分；欧拉积分。

基本要求：掌握含参量正常积分的计算，反常积分一致收敛的判定方法；熟悉简单的含参量反常积分计算；熟悉欧拉积分，特定形式的反常积分用函数的值表示的方法；了解含参量积分、含参量反常积分一致收敛的概念。

4.16 曲线积分

教学内容：对弧长曲线积分的概念、性质及计算；对坐标曲线积分的概念、性质及计算；两类曲线积分之间的关系。

基本要求：掌握两类曲线积分的计算，两类曲线积分之间的关系；熟悉两类曲线积分的性质；了解两类曲线积分的概念。

4.17 重积分

教学内容：二重积分的概念、性质及计算；格林公式；曲线积分与路径无关的条件；原函数；二重积分的变量代换定理及变换公式；三重积分的概念、性质与计算；重积分的应用。

基本要求：掌握二重积分的性质和计算，格林公式，原函数的计算，二重积分的变换公式，三重积分的性质和计算，曲线积分与路径无关的条件；熟悉二重积分的变量代换定理，重积分的应用；了解重积分的概念。

4.18 曲面积分

教学内容：对面积的曲面积分的概念、性质与计算；对坐标的曲面积分的概念、性质与计算；两类曲面积分之间的关系；高斯公式；斯托克斯公式；场、梯度、散度、旋度的概念及其计算。

基本要求：掌握两类曲面积分的性质和计算，高斯公式，两类曲面积分之间的关系，场、梯度、散度、旋度的计算；熟悉斯托克斯公式；了解两类曲面积分的概念，场、梯度、散度、旋度的概念，斯托克斯公式的应用。

4.19 数项级数

教学内容：数项级数收敛、发散及级数和的概念；正项级数的基本性质及敛散性判定；交错级数的敛散性判定；级数的绝对收敛与条件收敛的概念及其性质；拉贝尔判别法、狄利克雷判别法。

基本要求：掌握几何级数与P级数的敛散性，正项级数敛散性的判定，交错级数敛散性的判定，条件收敛级数与绝对收敛级数的判定；熟悉条件收敛与绝对收敛级数的性质，拉贝尔判别法，狄利克雷判别法；了解数项级数收敛、发散及级数和的概念，级数绝对收敛与条件收敛的概念。

4.20 函数列与函数项级数

教学内容：函数列与函数项级数的概念；函数项级数收敛域、发散域与和函数的概念；函数项级数一致收敛的概念；判别函数项级数的一致收敛性及一致收敛函数项级数的基本性质。

基本要求：掌握函数项级数一致收敛性的判定；熟悉一致收敛函数项级数的基本性质；了解函数列与函数项级数的概念，函数项级数收敛域、发散域及和函数的概念，函数项级数一致收敛的概念。

4.21 幂级数

教学内容：幂级数的概念及其性质；幂级数的收敛半径与收敛域；简单幂级数的和函数；函数的泰勒级数的概念及泰勒级数收敛到原函数的充要条件；函数展开成幂级数。

基本要求：掌握幂级数收敛半径与收敛域的计算，函数泰勒级数收敛到原函数的充要条件，将函数展开成幂级数的方法，简单幂级数的和函数的求法；熟悉幂级数的性质，幂级数在其收敛区间内的基本性质；了解幂级数的概念，函数泰勒级数的概念。

4.22 傅立叶级数

教学内容：三角级数及正交函数系的概念；傅立叶级数的收敛定理，将周期函数展开为傅立叶级数；函数延拓；收敛定理的证明思想。

基本要求：掌握傅立叶级数的收敛定理，函数延拓，将任意周期函数展开为傅立叶级数；熟悉周期函数展开为傅立叶级数的方法，将定义在

及

上的函数展成正弦或余弦级数；了解三角级数及正交函数系的概念，收敛定理的证明思想。

5 本课程实践教学环节要求

6 本课程学时分配

分段标识	序号	内 容	讲课	习题课	实验	小 计
Ⅰ4111511	1	实数与函数	8	2		10
	2	数列极限	8	2		10
	3	函数极限	8	4		12
	4	函数的连续	6	2		8
	5	导数与微分	10	4		14
	6	微分中值定理及其应用	10	4		14
	8	不 定 积 分	8	4		12
Ⅱ 4111512	9	定积分	10	4		14
	10	定积分的应用	6	2		8
	11	反常积分	6	2		8
	12	多元函数的极限与连续	6	2		8
	13	多元函数微分学	12	4		16
	14	隐函数定理及其应用	7	3		10
	15	含参量积分	7	3		10
	16	曲线积分	4	2		6
Ⅲ 4111513	17	重积分	14	6		20
	18	曲面积分	12	4		16
	19	数项级数	8	4		12
	20	函数列与函数项级数	8	4		12
	21	幂级数	8	4		12
	22	傅立叶级数	6	2		8
合 计			172	68		240